Los números felices tienen las siguientes características: en un sistema de acarreo dado, la suma de los cuadrados de todos los dígitos del número es el nuevo número obtenido

Encuentra la suma de los cuadrados de todos los números nuevamente y repite Continuar , el resultado final debe ser 1.

Por ejemplo, tome decimal como ejemplo:

2 8 → 2^2+8^2=68 → 6^2+8^2=100 → 1^2+0^2+0^2=1

3 2 → 3^2+2^2=13 → 1^2+3^2=10 → 1^2+0^2=1

3 7 → 3^2+7^2=58 → 5^2+8^2=89 → 8^2+9^2=145 → 1^2+4^2+5^2=42 → 4^2+2^2=20 → 2^2+0^2=4 → 4^2=16 → 1^2+6^2=37……

Por lo tanto, 28 y 32 son números felices, y durante el proceso de cálculo de 37, 37 aparece repetidamente. El resultado del cálculo continuo será solo un ciclo de los números anteriores y 1 no aparecerá, por lo que 37 no es un. número feliz.

Los números que no son números felices se llaman números infelices. El cálculo de la suma de los cuadrados de todos los números infelices eventualmente entrará en el ciclo de 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 en el medio.

En decimal, los números felices dentro de 100 son (secuencia A00770 en OEIS): 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86 , 91, 94, 97, 100.

Quizás podamos encontrar algo más interesante en bases menores a 10. De esta forma no habrá letras entre los números. 167 es 5 mayor que un múltiplo de 9, por lo que en un sistema básico que se puede dividir uniformemente por 9, el último dígito del número es 5, que parece mucho más festivo que el torpe 7. (Por supuesto, esto es sólo para nuestros ojos que están acostumbrados al sistema decimal. El significado de 5 en base 9 es diferente de lo que imaginamos). En base 9, 167 se escribe como 205, pero personalmente prefiero 81 25 en base , es muy sencillo.

Estudiar 167 en diferentes sistemas de acarreo lleva a otro hecho interesante: 167 es un número estrictamente no palíndromo, lo que significa que no se puede usar en ningún sistema de acarreo entre 2 y 165. Escríbalo como un número palíndromo (el número es exactamente igual cuando se lee hacia adelante y hacia atrás). (La razón por la que nos detuvimos en la base 165 es que es 167-2, y cualquier número n en base n-1 es un número palíndromo, que se parece a 11.) Hasta ahora, no sé el número de estrictamente números no palindrómicos, pero el siguiente número no palindrómico después de 167 es 179, y el siguiente es 223.

Las características enumeradas anteriormente son suficientes para demostrar la necesidad de realizar una celebración. Además, 167 también es un número primo seguro, un número primo muy cotiente y un número primo completamente cíclico. Me gusta especialmente el último: significa que existe un número de 166 bits y cada múltiplo del mismo es una permutación cíclica de los números. Es decir, cuando multiplicas este número por un número entero, el producto obtenido es exactamente el número del número original. El orden es el mismo, pero el punto de partida es diferente, por ejemplo, 142857×2=285714.